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Publié le 2 février 2014par 

Voici un petit problème amusant. Arriverez-vous à en trouver la bonne réponse ?

Un agriculteur possède un tas de 100kg de pommes de terre. Elles sont composées de 99% d’eau et d’1% de matière sèche. Il laisse son tas de pommes de terre sous le soleil. Quand il revient le lendemain, il constate qu’il y a eu déshydratation et l’eau ne représente plus que 98% de son tas de pommes de terre.

Question: quelle est la nouvelle masse totale du tas de pomme de terre ?

Une patate, ça trompe énormément

Les réponses classiques données par les gens à qui on soumet ce problème sont: 98kg ou 99kg (mais plus 98kg j’ai l’impression, vu ce que m’ont répondu les gens à qui j’ai posé ce problème). Vous vous doutez bien que ces réponses sont trop simples pour être vraies. Et c’est parce que la vraie réponse ne correspond pas à cette intuition que ce problème s’appelle aussi le paradoxe des pommes de terre.

Le (faux) paradoxe se situe essentiellement dans une mauvaise compréhension de la situation: quand on parle d’un pourcentage, par rapport à quoi il s’applique ? (si certains journalistes tombent sur ce blog (pourquoi pas !), il serait bon qu’ils essayent de comprendre le principe des pourcentages… sait-on jamais, ça pourrait servir !).

Un bon schéma vaut mieux qu’un long discours

Représenter un problème avec un schéma, c’est déjà une bonne partie de la résolution.

Schema_paradoxe_pommes_de_terre

On représente le tas de patate avec un rectangle (!). La partie bleue représente l’eau contenue dans le tas de patates et la partie rose représente la matière sèche.

Une point essentiel de ce problème est que la masse de la matière sèche des pommes de terre n’a pas changé lors de la déshydratation. Mais bien que cette masse sèche n’ait pas changé, le pourcentage qu’elle représente évolue bel et bien, et en l’occurrence il augmente ! (C’est sans doute ce point précis qui nous induit en erreur et nous fait avoir une intuition fausse.)

Pour résoudre ce problème, nous allons donc utiliser le fait que cette masse soit constante. On appelle x la masse totale des pommes de terre après déshydratation (c’est-à-dire la masse sèche plus la masse d’eau). La masse sèche valait 1% de 100kg c’est-à-dire 1kg avant déshydratation. Elle vaut toujours 1kg après déshydratation. Mais après déshydration, la masse sèche représente cette fois 2% de la masse totale, d’où l’égalité:

2\% \times x = 1 \text{ kg }

Bon, là, on arrive sur une équation du premier degré à une inconnue qu’on s’empresse de résoudre tellement le suspense de ce problème est insoutenable:

x = \dfrac{1}{2\%}

C’est-à-dire x = 50 \text{ kg } !

Résumé

Nous voyons donc que lorsque le pourcentage d’eau diminue d’1%, la masse totale des patates diminue de moitié (soit de 50kg) ! C’est plutôt inattendu.

Bon, je vous laisse, ça m’a donné faim toutes ces maths.

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