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Certains nombres sont beaucoup plus riches que d’autres. Quand on regarde l’écriture des nombres sous forme décimale, certains n’ont qu’un nombre fini de chiffres après la virgule, par exemple 11/8 = 1.375 alors que d’autres peuvent en avoir un nombre infini, par exemple 22/7 = 3.142857142857142857142857142…

Si vous êtes observateurs, vous aurez remarqué que dans le cas ci-dessus, les décimales  sont toujours les mêmes : le motif 142857 se répète à l’infini. Et ça n’est pas une exception puisqu’en fait tout nombre rationnel (c’est-à-dire tout nombre qui s’écrit comme une fraction P/Q) possède un développement décimal périodique. Pour obtenir des développements décimaux non-périodiques (et moins monotones donc !), il faut aller chercher du côté des nombres irrationnels.  Voici les plus connus:

Le nombre Pi

Pi = 3,14159265358979323846264338327950288419716939937510582… C’est le mathématicien grec Archimède qui est le premier à avoir calculé Pi, dont la valeur est estimée entre 3 + 10 / 71 et 3 + 1 / 7. Il s’agit du rapport constant entre la circonférence d’un cercle et son diamètre.  Son application : Pi est la clé constante dans toute équation qui inclut un mouvement circulaire ou harmonique. C’est une des relations les plus essentielles en mathématiques.

La formule de Leibniz suivante dit que Pi sur quatre est la somme infinie des inverses des entiers impairs, affectés d’un signe alterné, montre que π n’est pas lié au cercle mais serait présent dans toute civilisation sachant compter, c’est à dire connaissant la suite des nombres entiers 0, 1, 2, 3…

pi

La racine carrée de deux

√2 = 1,414213562373095048801688724209698078569671875376948073176679737… Elle est notée √2 et est définie comme le seul nombre réel positif qui, lorsqu’il est multiplié par lui-même, donne le nombre 2, autrement dit √2 × √2 = 2. C’est sans doute le nombre irrationnel le plus connu et le plus célèbre. La longueur √2 peut être construite géométriquement de plusieurs manières ; par exemple, la diagonale d’un carré de côté 1, qui est l’hypoténuse d’un triangle rectangle isocèle, vaut √2 par le théorème de Pythagore.

cercle

Dans un carré de cote 1, le rapport de la diagonale au côté est égal à √2. Dans un cercle, le rapport de la circonférence au diamètre est égal à π.

Ce nombre intervient dans de nombreuses applications de la vie courante. Par exemple les feuilles de papier au format international (ISO 216) ont une proportion longueur/largeur égale à √2

Le nombre d’or

Phi = (1+√5)/2 = 1,618 033 988 749 894 848 204 586 834 365 638 117 720 309…. 

Le nombre d’or possède une définition d’origine géométrique, fondée sur la notion de proportion : Définition de la proportion d’or — Deux longueurs strictement positives a et b respectent la « proportion d’or » si et seulement si, le rapport de a sur b est égal au rapport de a + b sur a : a/b = (a+b)/a    (1)

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La proportion (1), définissant la proportion d’or, peut être écrite de la manière suivante, obtenue en multipliant l’égalité par  a/b :

a+b/a = a/b <=> 1 + b/a = a/b <=> a/b +1 = (a/b) 2  <=> (a/b) 2  – a/b -1 = 0

Ce qui revient à dire que le nombre d’or est l’unique solution positive de l’équation du second degré suivante : x2 – x -1 = 0

Le nombre d’Euler

e = 2,7182818284 5904523536 0287471352 6624977572 470936999595749669… C’est en 1614 que le mathématicien écossais Jean Neper invente les logarithmes (ln), afin de simplifier les calculs astronomiques de l’époque en remplaçant la  multiplication par l’addition, conjointement avec l’utilisation de tables, selon  la formule : ln (ab) = ln a + ln b. Le nombre e est l’unique nombre réel dont le logarithme népérien ait pour valeur 1, ce qui s’écrit : ln e = 1.

Aujourd’hui les applications de e sont variées. Par la fonction exponentielle, nous le retrouvons en économie (calculs des intérêts versés de façon continue), en biologie (mesure de la multiplication des cellules vivant dans un organisme), en sciences physiques (la loi de décroissance radioactive – prenez par exemple la datation au Carbone 14)…

Pour finir, voici un extrait du « Théorème du perroquet » de Denis Guedj qui donne une représentation concrète du nombre e : « Suppose qu’il y a un an tu aies amassé un beau pécule qui nous permettra de payer notre voyage pour Manaus. Soit P, ce pécule. Tu l’as placé en attendant. Coup de bol, ton banquier t’a proposé un taux d’intérêt mirobolant : 100 % ! Ne rigole pas, ça s’est vu. Pas avec les pauvres, mais avec les riches. Rêve ! Calcule ! Au bout d’un an, tu aurais eu P + P = 2P. Tu aurais doublé ton pécule.
Si au lieu de toucher les intérêts à la fin de l’année, tu les avais touchés tous les six mois et que tu les aies replacés, au bout d’un an ça t’aurait fait P(1 + 1/2)2. Calcule Tu aurais plus que doublé ton pécule tu aurais 2,25P. Si au lieu de toucher les intérêts tous les six mois, tu les avais touchés tous les trimestres et que tu les aies replacés, au bout de l’année, ça t’aurait fait P(1 + 1/4)4. Calcule ! Tu aurais gagné encore plus : 2,441P. Si tu les avais touchés tous les mois et que tu les aies replacés, ça t’aurait fait P(l + 1/12)12. Calcule ! 2, 596. Encore plus ! Puis, tous les jours : P(1 + 1/365 )365. Encore plus toutes les secondes, encore plus. Et puis, tous les riens du tout, « en continu ». Tu n’en peux plus, tu t’envoles, tu planes, tu te dis que c’est Byzance, que ton pécule pécuple, qu’il va quadrupler, décupler, centupler, millionupler, milliardupler, [ … ] Tes intérêts composés, ils ont beau se décomposer, eh bien, à l’arrivée, tu n’a même pas le triple de ton pécule, ni même 2,9 fois plus, ni même 2,8 fois plus, ni même 2,75 fois plus, ni même 2,72 fois plus… Tu as seulement 2, 71 828 1828 ! … Mon pauvre John, après toute cette richesse, te voilà seulement e fois moins pauvre qu’au départ ! »

A noter que le nombre d’euler peut également s’exprimer sous la formule suivante:

eiler

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